向量更深入,复数有提升

主 讲：沈新权

浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.

推荐名言

可以用一次的想法是一个诀窍，如果可以用两次以上，那它就成为一种方法了．

——乔治·波利亚 （匈牙利数学家，提出了组合数学的重要工具波利亚计数定理）

向量与复数兼具代数与几何的特征，既能进行代数形式的运算，又能进行几何形式的变换，这种“身份”使它们能作为数学工具，解决函数、几何等多种数学问题．其中，复数还是高等数学中复变函数的基础．因此在自主招生考试中，向量与复数出现的频率比较高．

一、向量问题

例1 （2010年北京大学自主招生考试第4题） ■，■的夹角为θ，■=2，■=1，■=t■，■=（1-ｔ）■，■＝ｆ（ｔ）在ｔ＝ｔ0时取得最小值. 若0＜ｔ0＜■，求θ的取值范围．

解析： 设g（ｔ）=■2， ∵ ■，■的夹角为θ，■=2，■=1，又■＝■-■＝（1-ｔ）■-ｔ■， ∴ ｇ（ｔ）＝■2＝（5+4ｃｏｓθ）ｔ2-（2+4ｃｏｓθ）ｔ+1． ∵ 5+4ｃｏｓθ＞0，∴ ｇ（ｔ）的图象开口向上，ｇ（ｔ）的判别式Δ=16（ｃｏｓ2θ-1）≤0. ∴ ｇ（ｔ）≥0，∴ 当t=t0=■时，■=f（ｔ）取得最小值. 由0<■<■解得-■<ｃｏｓθ<0， ∴ θ∈■，■．

例2 （2008年南京大学自主招生考试问答题第２题） 在△ABC中任取一点O，用SA，SB，SC分别表示△BOC，△AOC，△AOB的面积，求证：SA·■+SB·■+SC·■=0．

解析：如图1所示，以O为原点、OC所在的直线为x轴建立直角坐标系，设■=x，■=y，■=z，∠AOC＝α，∠AOB＝β，∠BOC＝γ，其中α+β+γ＝2π．

SA·■+SB·■+SC·■＝■yzsinγ·（xcosα，xsinα）+■xzsinα·［ycos（α+β），ysin（α+β）］+■xysinβ·（z,0）=■xyz［cosαsinγ+sinαcos（α+β）+sinβ］，■xyz［sinαsinγ+sinαsin（α+β）］.

∵ γ=2π-（α+β）， ∴ cosαsinγ+sinαcos（α+β）+sinβ=-cosαsin（α+β）+sinα·cos（α+β）+sinβ=-sinβ+sinβ＝0. 又sinαsinγ+sinαsin（α+β）＝-sinαsin（α+β）+sinαsin（α+β）＝0， ∴ SA·■+SB·■+SC·■=0．

利用例2的结论，我们还可以证明：若△ABC的边长为a，b，c，①当O为△ABC的重心时，■+■+■=0；②当O为△ABC的内心时，a·■+b·■+c·■=0；③当O为△ABC的外心时，sin2A·■+sin2B·■+sin2C·■=0；④当O为△ABC的垂心时，tanA·■+tanB·■+tanC·■=0．

二、复数问题

从代数角度看，解决复数问题的关键是把复数问题实数化．在复数问题实数化时，既可以借助复数的代数形式，也可以利用复数的三角形式，同时还可充分利用共轭复数及复数模的相关性质简化解题过程．从几何角度看，解决复数问题的关键在于合理利用复数运算（加减乘除）的几何意义，减小运算量．

例3 （2008年上海交通大学自主招生考试第4题） 复数z=1，若存在负数a使得z2-2az+a2-a=0，则a= ．

解析：要解决例3，同学们须掌握复数z=a+bi的三角形式z=r（cosθ+isinθ） ，其中模r=a2+b2，辐角θ由tanθ=■和θ的终边所在的象限确定.当复数的模为1时，利用复数的三角形式解决问题会相对简单一些.

设z=cosθ+isinθ，则z2-2az+a2-a=cos2θ-2acosθ+a2-a+i（sin2θ-2asinθ）=0，可得cos2θ-2acosθ+a2-a=0 （①），sin2θ-2asinθ＝0 （②）.由①式得sinθ＝0或a=cosθ. 当sinθ＝0时，a=■>0，∵ a<0，∴舍去；当a=cosθ时，解得a=■． ∵ a<0， ∴ a=■．

解决例3的关键是利用复数相等的充要条件，把复数问题转化为实数问题来解决．

例4 （2011年“卓越联盟”自主招生考试第4题） i为虚数单位，设复数z满足z=1，则■的最大值为

（A） ■-1（B） 2-■（C） ■+1（D） 2+■

解析：我们先来了解复数加减法的几何意义．

复数加法的几何意义：设复数z1=a+bi， z2=c+di在复平面上所对应的向量为■，■，则■=（a，b），■＝（ｃ，ｄ）. 以■，■为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量■=■+■=（a+c，b+d）． ■就是复数z=z1+z2=（a+c）+（b+d）i在复平面上对应的向量．

复数减法的几何意义：设复数z1=a+bi，z2=c+di在复平面上所对应的向量为■，■，则■=■-■=（a-c，b-d）． ■就是复数z=z1-z2=（a-c）+（b-d）i在复平面上对应的向量．

如果像例3一样设复数的三角形式，或直接用代数形式求解■，运算量会很大．我们可以先化简■． ∵ ■＝■＝■＝z-（1+i）， ∴ 问题转化为求z-（1+i）的最大值． ∵ z=1，∴ 由复数减法的几何意义可知，z-（1+i）的最大值为复平面中单位圆上的点到复数1+i所对应的点的距离的最大值， ∴ ■max=■+1． 选C．

例5 （2003年复旦大学自主招生考试第8题） 已知z1=2，z2=3，z1+z2=4 ，求■．

解析：解决例５时，我们会用到两个知识.一是公式z·■=z2；二是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a，b，c为实数）的判别式Δ＝b2-4ac<0，则方程的根为一对共轭的虚根x=■，韦达定理仍旧成立．

由题意可得z1·■=4，z2·■=9，z1+z22=16=（z1+z2）（■+■）＝13+■+■. 令■=z，则9z+■=3，解得z=■±■i， 即■=■±■i．

例6 （2011年“卓越联盟”自主招生考试第10题） 设σ是坐标平面上的点按顺时针方向绕原点作角度为■的旋转，τ表示坐标平面上的点关于y轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ；用σk表示连续k次σ的变换，则στσ2τσ3τσ4是

（A） σ4（B） σ5 （C） σ2τ（D） τσ2

解析：我们先来了解复数的乘除法的几何意义．

复数乘法的几何意义：设复数z1=r1（cosα+ｉｓｉｎα），z2=r2（cosβ+ｉｓｉｎβ），在坐标系中把复数z1所对应的向量■按逆时针（β＞0）或顺时针（β＜0）旋转β个角度，并将■的模长伸长（r2＞1）或缩短（0＜r2＜1）到原来的r2倍，由此得到的向量所对应的复数就是z1·z2．

同理，复数除法的几何意义为：把复数z1所对应的向量■按顺时针（β＞0）或逆时针（β＜0）旋转β个角度，并将■的模长伸长（0＜r2＜1）或缩短（r2＞1）到原来的■倍，由此得到的向量所对应的复数就是■ （z2≠0）.

要解决例6，我们先设复平面上的点所对应的复数为ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ+ｉｓｉｎθ），记σz为复数z对应的点做一次σ变换后得到的点所对应的复数，记τz为复数z对应的点做一次τ变换后得到的点所对应的复数，由复数除法的几何意义可得，σz=rcosθ-■π+isinθ-■π，τz=r［cos（π-θ）+isin（π-θ）］，由此可得复数对应的点每次变换后所对应的辐角．根据题中定义的变换规则，στσ2τσ3τσ4后，ｚ所对应的辐角变化依次为θ ■ θ-■π ■ ■π-θ ■ ■π-θ ■ ■π+θ ■ θ-■π ■ ■π-θ ■ ■π-θ． 同理， 经过A、B、C、D选项的变换，复数z对应的点所对应的复数的辐角分别为θ-■π，θ-■π，■π-θ，■π-θ． 选D．

【下期预告】

在自主招生考试中，对数列内容的考查达到了怎样的程度·极限问题的考查重点又在哪里·在下一讲中，我们将就这两个问题展开讨论．