运筹学中的影子价格初探

【摘要】影子价格在实现资源的最优配置中有广泛应用，本文通过生产中的实例引出影子价格并给出其定义，进而介绍影子价格的计算方法和实际应用。

【关键词】影子价格；对偶线性规划；资源配置

一、引言

影子价格的概念最早由荷兰当代著名经济学家丁伯根提出，可通过数学方法计算得出。影子价格反映了具有某种经济结构的系统，有限资源得到最有效利用时资源的边际价值。影子价格在企业管理、经营决策、资源分配和技术经济分析中，能提供科学的定量依据。

本文由资源利用问题中资源的估价引出影子价格，给出资源影子价格的定义，进而介绍影子价格的计算方法和实际应用。

二、影子价格的引例

例1：金融危机后，某企业业绩下滑，经讨论决定中止某条亏损生产线的生产，这便出现相当大的过剩生产能力。该企业经理考虑在某个计划期内，用过剩的生产设备A1，A2，A3生产B1，B2，B3三种产品。按生产工艺要求，各种产品每一件在各设备上所需加工的工时数、生产每件产品的利润如表1所示。该企业销售部门预测，这三种产品的销售潜力超过最大生产率。该企业生产管理部门如何安排生产计划，才能取最大的总利润？

问题分析：

决策变量：计划期内产品B1，B2，B3的生产量为x1，x2，x3。

目标函数：max s=30x1+12x2+15x3，总利润最大。

这样就得到一个运筹学中的线性规划问题（Ⅰ）。

该企业经理获知供应部门提供的最新市场信息，在计划期内，产品B1，B2，B3的原料供应可能出现短缺，而库存的原料尚存不多。经销售部门预测，利用设备A1，A2，A3承包外加工，市场潜力较大。据此，该企业经理從另一角度提出利用过剩生产设备的计划方案。不用设备A1，A2，A3生产B1，B2，B3产品而用它们承包外加工。那么各设备每个加工工时如何估价，既使获得的加工利润不低于生产B1，B2，B3产品时获得的最大利润，又具有市场竞争力呢？对各设备的估价问题便又得到一个与线性规划问题（Ⅰ）密切相关的对偶线性规划问题（Ⅱ）。

决策变量：设备A1，A2，A3每工时的估价为y1，y2，y3。

目标函数：min z=500y1+350y2+150y3总的加工利润最少，具有最大的市场竞争力。

约束条件：9y1+5y2+3y3≥30

3y1+4y2≥12

5y1+2y3≥15

承包外加工获利不低于生产相应产品。

y1≥0；y2≥0；y3≥0为非负约束。

很明显，当max s=min z时，该企业经理认为，这两种考虑的方案具有相同的经济效果，都是最优方案。该企业经理便可根据原料、产品、外加工市场的具体情况，采用相应的最优方案。

从经济意义上讲，对偶线性规划问题（Ⅱ）提出的是一个确定设备每个加工工时的估价问题。这个估价与通常商品的价格是不同的。商品价格随价值量，市场供给与需求量情况，以及有关方针与政策等的变化而变化，而这个估价仅与企业的经济结构有关。当企业的经济结构发生变化时，获利不低于生产相应产品的同一台设备加工工时的估价就会随之而变。它如同在该企业特定的经济结构中该台设备的影子。故称其为该台设备加工工时的影子价格。

三、影子价格的定义

具有某经济结构的系统中，所谓投入者均成为资源，包括人力、物力、财力、时间等。例如，在例1中设备A1，A2，A3的有效工时便是资源。线性规划是解决在具有某种经济结构的系统中，如何合理利用有限的资源，使该系统的经济效益达到最优的一种经济数学方法。

例2（资源利用问题）在某种经济系统中，利用m种资源生产n种产品。各种资源的利用限度，各种产品的单位利润以及各种产品对各种资源的单位消耗如表2所示。问：各种产品分别产出多少才能使系统获得最大利润？

相当于某个具体约束条件∑nj=1aijxj≤bi的资源Ai的影子价格是，对这一约束条件右端项bi每增加一个单位，线性规划问题（Ⅲ）其他数据保持不变时，产生的目标函数最优值的变化量。

根据影子价格的定义，它反映了在该系统特定的经济结构中，有限资源得到最优利用时，资源Ai的边际价值。

资源Ai的影子价格为零，即资源Ai在资源最优利用时的边际价值为零，意味着，增加资源Ai不会提高整个系统的最大利润。资源Ai对该系统最有生产计划而言是长线资源。

资源Ai的影子价格为正数，即资源Ai在资源最优利用时的边际价值为正数，意味着增加资源Ai会提高整个系统的最大利润。资源Ai对该系统最优生产计划而言是短线资源。

四、影子价格的计算

假设线性规划问题（Ⅲ）的对偶线性规划问题的最优解是Y*=（-λ*1，-λ*2，…，-λ*m）。根据对偶定理知：maxs=∑mi=1biy*i

当资源Ai的最大限度bi增加一个单位，而线性规划问题（Ⅲ）中其他数据保持不变时，根据maxs=∑mi=1biy*i知道最大利润将增加y*i。

根据资源的影子价格的定义，资源Ai的影子价格就等于y*i。这样，线性规划问题（Ⅲ）通过maxs=∑mi=1biy*i把最大利润表达成各种资源所表示的价值之和。线性规划问题（Ⅲ）中各资源的影子价格就是其对偶线性规划问题的最优解。

线性规划问题（Ⅲ）中引进非负松弛变量化为标准形（记为（Ⅳ））。

目标函数：mins′=-∑nj=1cjxj

约束条件：∑nj=1aijxj+xn+i=bi（i=1，2，…，m）

xj≥0（j=1，2，…，n，n+1，…，n+m）

用单纯形法解得线性规划问题（Ⅳ）的最优解。其最优基为B*，松弛变量xn+i的检验数为λ*i。（i=1，2，…，m）

根据线性规划的对偶性质：在互为对称型对偶的两个线性规划中，如果其中一个问题m个线性不等式约束条件中均引入非负松弛变量化成等式约束，那么，最优基中松弛变量对应的检验数的相反数构成另一个问题的最优解。那么，线性规划问题（Ⅲ）的对偶线性规划问题的最优解Y*就是最优基B*中松弛变量检验数的相反数。即Y*=（-λ*1，-λ*2，…，-λ*m）。

这样，资源利用问题的线性规划（Ⅲ）中，资源的影子价格在其标准形的线性规划问题（Ⅳ）的最优基B*的单纯形表中体现出来，可见没有最优化便谈不上资源的影子价格。线性规划问题（Ⅲ）中资源的影子价格可以用线性规划的单纯形法来计算。

五、影子价格的应用

影子价格为企业管理、经营决策和技术经济分析提供科学的定量依据，大致有如下几方面的应用：

1、影子价格是对现有资源在实现最大利润时的一种估价。在企业经营决策中，可以从资源利用的角度，实现资源价格的预测。

2、影子价格反映了企业资源短缺的程度。资源的影子价格是资源的边际价值。它反映了在具有某种经济结构的企业中，短缺的资源与其短缺的程度。

3、影子价格反映企业的资源短缺程度，为企业决策部门提供使企业获得更大利润的定量依据，从而指出该企业发扬优势的方向。

4、资源供应部门和同类型企业横向经济联合体的决策部门，以同类企业相同资源不同的影子价格为定量依据，指导短线资源的择优分配。

参考文献：

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