一道高三调研试题命制历程

下面是小编为大家整理的一道高三调研试题命制历程,供大家参考。

　

　一道高三调研试题的命制历程 作

　者：

　徐明

　作者简介：

　徐明，江苏省东海县教师进修学校.

　原发信息：

　《中学数学：高中版》(武汉)2014 年第 20144 期 第 39-41页

　期刊名称：

　《高中数学教与学》 复印期号：

　2014 年 08 期

　文[1]对由笔者命制的一道高三调研试题作了深层次的解题探究，旨在扩展试题的数学功能与教育功能.读完自感作为试题的命题人，有必要把此题的命制过程也呈现给大家，让数学同仁从命题与解题两个角度审视这道试题，也许这样更能为我们的数学解题教学与命题研究提供一些启示.

　（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

　 （Ⅱ）若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，试问：在茹轴上是否存在两定点，使其到直线 l 的距离之积为 1？若存在，请求出两定点的坐标；若不存在，请说明理由.

　 一、命制历程

　 1.命题设想

　纵观近几年江苏高考命题的发展趋势，由于考试说明降低了双曲线与抛物线等圆锥曲线的考查力度，解答题中涉及解析几何的试题基本稳定在考查圆或椭圆的概念、标准方程和简单几何性质上.一般情况下，这类试题既包含对圆或椭圆基本量的定量计算，又包含对圆或椭圆几何性质的定性研究.基于此，我们结合本次命题的内容和题型的双向细目表，确定了本次高三调研考试解析几何解答题的命题立意：以椭圆为知识载体，主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线方程等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，进而确定了试题的命题方向：试题设置为两个层次递进式的小问题，第一问由椭圆基本量的关系求椭圆的标准方程；第二问通过直线与椭圆的关系研究椭圆的某一几何性质.

　 首先，需要确立研究椭圆几何性质的方向，因为椭圆的性质与其方程是否有相关性，一定程度上制约着第一问所求方程的数据设置.分析2010～2012 年三年的高考试题，发现江苏卷已经通过直线与椭圆的相交，考查了直线过定点、两直线垂直、两线段和为定值等定性问题，再者江苏高考不涉及一元二次方程根与系数的关系在解题中的运用，这些都是现在必须要回避的.而笔者在研究 2012 年全国各地的高考试题时，曾经发现四道命题背景相同的解析几何解答题，它们都以直线与圆锥曲线相切情形下的圆锥曲线某一性质为试题的“生长点”（详见文[2]）.因此，最终选择直线与椭圆相切时的如下性质（也就是文[1]中探究所得的结论 1）作为命题的理论支撑.

　性质：椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点处的切线的距离之积为椭圆短半轴长的平方.

　 其次，需要确定以什么样的形式求解椭圆的标准方程.在椭圆的几何性质中，其基本量无非涉及椭圆的长（短）轴、焦点和离心率等，考虑到焦点三角形在椭圆中的重要地位，初步设想借助焦点三角形给出相关基本量，求椭圆的标准方程.于是得到试题的雏形.

　2.命题打磨

　 （1）题设条件的打磨.

　 在命题打磨阶段，首先对题设条件进行了打磨.先看第一问的解答过程.

　 从严格意义上讲，这是一道好题.试题的求解既涉及椭圆的定义，还涉及余弦定理的运用，有一定的综合性.但问题也恰好出现在这个“综合性”上.作为高三期末考试，它有别于高考那样的选拔性考试，作为一种发展性测试，高三期末考试重在调查研究学生对所学高中数学知识和技能的掌握情况，命题应面向全体学生，重视考查学生的数学基础知识和基本技能，控制试题的难度，力求低起点，让不同层次的学生都有发挥的余地，发挥试题的激励功能，让学生学有所得，增强信心.

　而现在的命题设置，凸显两大缺点.一是综合性较强.特别是解三角形的问题，需要借助 运用“算两次”的方法，才能求得 c 的值，这种处理方法对多数学生而言是不适应的.如果第一问就拦住很多学生，显然是不合适的.二是解析的味道不足.作为解析几何问题，解题的基本方法应该是用代数方法研究几何问题，将椭圆与解三角形综合，势必淡化了解析几何的基本思想方法.这样的命题设置与本题的立意相背，于是针对发现的问题，作了如下修改.

　相比雏形题，磨题 1 的题设保留了直角三角形的构成要件，对构图布局与数据信息作了一些调整.其中，将直角顶点从 移到 ，第四象限的点 B 换成第一象限的点 P，使构图更加简洁；将直角三角形的面积换成椭圆过点 P，则能体现曲线与方程关系的运用.

　 磨题 1 的题设条件充分体现了解析法的特质，点的坐标是对应方程的解，两直线垂直对应斜率乘积等于-1.学生很容易根据题设条件列出方程组但解方程组又产生了新的问题.由于初中降低了解方程组的教学要求，对于学生而言，求解此处的三元四次方程组是困难的，势必形成新的不必要的解题障碍，这同样是我们不愿看到的.于是作了第二次修改.

　（Ⅰ）求椭圆 C 的方程

　（2）设问方式的打磨.

　 最后是对第二问设问方式的打磨.鉴于第一问难度的降低，第二问若仍保留原设问方式，则难度稍显不足，因此设想把试题改造成具有探究性的试题

　（Ⅰ）求椭圆 C 的方程

　磨题 3 作了两点修改，其实质都是叙述方式的改变，对问题的解答没有任何影响，难度也没有变化.至于将“直线 l 是椭圆 C 的任意一条切线”改为“动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点”，主要是出于表述规范性的考虑，因为苏教版教材上没有出现直线与圆锥曲线相切的定义.

　 如何增加试题的探究性呢？在“定值”与“定点”间徘徊之际，头脑里产生这样的念头：既然两焦点到椭圆动切线的距离之积是定值，那么到动切线距离之积为定值的两个定点一定会是焦点吗？由于存在性已知，这种探究显然是有意义的.考虑到运算的复杂性，最后决定指明探究方向，仅在 x 轴上探究两个定点的存在性.

　（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

　 （Ⅱ）若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，试问：在 x 轴上是否存在两定点，使其到直线 l 的距离之积为定值？若存在，请求出两定点坐标及其定值；若不存在，请说明理由.

　磨题 4 与最后呈现在考生面前的试题仅有一处不同，即将“积为定值”修改为“积为 1”.这同样是出于降低试题难度的考量，因为多字母的代数式运算，始终是学生的一个弱点.而在本题的解题过程中，涉及四个字母量的复杂变形，足可以实现加大考生运算能力与推理论证能力考查力度的意图.

　 二、几点思考

　 命制数学试题，是一项严肃而辛苦的工作.一道好试题是学生与数学的一次无声对话；一道好试题是教学与评价的有效抓手；一道富有创意、多样化、高质量的试题，能为教学作出正确的指引，能促使教师反思自身教学的缺陷和不足，有助于教师的专业成长.

　 1.好试题要强调原创性

　 当下快捷的网络技术，使教师与学生拥有海量的试题资源.作为地市级的调研考试，试题的来源直接影响着考试的信度和评价的真实性.一份试卷中如果出现陈题，或者照搬照抄别人的考题，就会在考生中造成不公平现象.作为命题者，必须处理好传统与创新的关系，追求试题的原创性.当然，让试题百分百的原创是有困难的，无论是何种类型的考试命题，受时间和精力的限制，不可能所有的试题都是命题者创造性地编制出来的，应该看到大部分试题是来源于对已有问题的改编.命题者必须具备较强的改编试题的能力，只有这样才有可能编制出创新题.就本题而言，严格意义上讲也只是一道改编的新题，只不过我们将原素材（指命题设想中涉及的椭圆

　性质）在形式上、考查功能上都作了根本性的改变，所谓生于斯，而不止于斯.

　 2.好试题要重视层次性

　 好的试题是考生与数学的一次无声对话.让考生看不懂的试题不是好试题，考生都不会做的试题也不是好试题.好试题应该重视测试的层次性，要让考生可读、可解，有成功才会有信心.实际上，本题打磨的大部分时间都是用来降低试题的上手难度，使试题更具层次感，为问题的分解和解决提供认知的客观物质基础.降低解题“门坎”，让大多数考生都能“走进来”，只有“走进来”，才能有机会“欣赏”后面更美丽的“风景”，愉悦考生的身心.只有层次分明，才能使试题的难度结构更合理，使试题具有更高的区分度.

　 3.好试题要突出探究性

　 数学试题除了考查学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解与数据处理等五大数学基本能力，还要着重考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生在解决问题过程中的创新意识.因此，好试题一定是以能力立意的.通过对特定数学问题的探索与求解，考查学生是否善于发现问题，能否选择有效的方法和手段收集信息、联系相关知识、提出解决问题的思路，建立恰当的数学模型，进而尝试解决问题.在这次命题打磨阶段，设问方式打磨的最终目标就是完成了试题从“知识立意”到“能力立意”的嬗变.原试题仅侧重于运算求解能力与推理论证能力的考查，而修改后的

　考题通过设问方式的改变，增加了对考生探究能力的考查，为试题增添了一抹亮色.

　 注：本次期末考试命题成员还有王弟成、陆习晓、钱宁和闫振仁四位老师，这里一并表示感谢！