激光诱导热传导问题的格林函数方法与应用

摘要：本文研究主旨是激光诱导热传导问题的格林函数方法与应用，主要内容有：（1） 热传导问题的 PT 频谱信号的数学模型的建立；（2）用格林函数方法求解热传导方程并对所得的格林函数进行本征分析；本文的研究结果不仅能直接应用于热传导正问题的求解，而且对反问题研究也有重要的指导意义。

关键词：光热(PT)模型 格林函数 本征分析 灵敏度分析

1880 年，美国物理学家Alexander Graham Bell[1]首先发现，当一束被周期性遮挡的太阳光束照射到放在密封盒内的固体上时，通过与密封盒连接的管子可听到盒内 有声音发出。这一发现奠定了光声（PA）——光热（PT）检测技术的研究基础。但由 于历史和技术的原因，光声——光热无损检测技术发展比较缓慢，直到 20 世纪 60 年代 中期以后，随着传感技术和微弱信号检测技术的兴起和发展，特别是激光器技术的发 明，PA/PT无损检测技术才得到较快的发展。70 年代初期，激光技术已经运用到无损 检测领域。到了 20 世纪 80 年代，光声——光热检测技术已经发展得相当成熟，出现了 多种PA/PT检测方法，例如，气体麦克风检测[2]、光热光偏转法[3]、光热光位移法[4]、光声谱和光声喇曼光谱法[5-6]、光热释电光谱法[7-8]等等。近二十年来，随着新材料、 新工艺的不断涌现和对检测的范围和精度等要求的不断提高，还出现了红外辐射线、 激光全息、激光散斑、激光超声、激光轮廓测量、激光瞬时热成像等无损检测新方法 和新技术[9]。与常规的超声、射线、涡流、磁粉、渗透[10]等无损检测技术相比，PA/PT 无损检测技术具有非接触、远距离分辨率高、无害、灵敏度高、频响宽、适应性强（适 用于气体、液体、固体等样品）等诸多优点，因而广泛运用于航空航天，电力、冶金、 石油化工、材料、建筑工业、特种设备、机械、制造业和医药卫生等诸多领域[11-14]。

近二十年来，基于PA/PT的各种反演技术一直以来都是研究的热点，并有诸多成果问世。由于PA/PT检测技术都涉及到反演问题，所以，对反问题的研究也成为热点。历史上，反问题的研究源远流长，早在1823 年，Abel[15]问题，即根据爬山的时间来 确定山的形状，就是一种反问题。1877 年，Lord Rayleigh[16]和Klein[17] 利用弦的振动 频率推断某一非均匀振动弦的密度成为了数学上研究反问题的先驱[18]。由于历史与技 术原因，反问题研究的兴起不过是近几十年的事情，它主要的研究对象是涉及与探测、识别和设计有关的应用问题。实际生产的迫切需求是推动这一学科迅速发展的原动力。198年，以“反问题、反演方法和数据反演计算”为主要内容的专题杂志Inverse Problems[19]创刊，标志着反问题的研究走向独立。世界上每年都举行各种形式的反问 题研讨会，得到了数学、物理、工程技术等多方面专家的响应。我国的反问题研究自 八十年代初由冯康教授[20]首倡，在实际问题的推动下，先后在中国科学院、哈尔滨工 业大学、山东大学、中山大学、南京大学以及石油等工业部门多家单位取得相当数量的理论和实际应用成果。

与正问题相比，反问题的研究起步较晚，发展还远不成熟。目前，反问题的研究 还存在诸多困难，如：存在性：我们要求的反问题的解很可能不存在。唯一性：有的反问题的解虽然存在，却不唯一，有几个甚至无穷多个。稳定性：利用计算手段，由接收信息来反演物质的结构和特性是反问题研究的重要内容。可是实际的接收响应中不可避免地含有噪音，计算过程也有累积误差。相当多的反问题都具有病态性质即数值上很不稳定，在有噪声时得到的解与真实解相差甚远，稳定性一直是反问题研究 的瓶颈。由于工程的实际需要，以及数理学科及工程技术的发展在反问题领域产生了 许多研究成果，到目前为止，已经建立了多种反演算法，例如，精确法[22]、积分法[23]、 Beck序列法[24-26]、软化法（Mollification）[27-28]、Tikhonov正则化法[29-30]、奇异值分 解法（SVD）[31]、最佳摄动法[32]、共轭梯度法(CG)[33]等。

要解决反问题首先要对正问题进行研究，如果对正问題知之甚少甚至一无所知，那么反问题是无从提起的。本文主要研究PT 模型的热传导正问题，以期对解决相应 的反问题的提供理论指导。所谓热传导的正问题是给定热源，材料的各种热学参数求 温度场分布的问题。相应的反问题是从边界上给定的温度分布确定材料的热源分布和 热学参数。

灵敏度是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的概念。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不 准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模 型有较大的影响。灵敏度分析研究的具体意义还表现为：(1)通过不同要素及其所 得综合评价值的比较，可以使我们得到被评价对象更丰富的信息，以便于做出满意的 决策。(2)对难于肯定的环境条件，或没有把握确定的参数进行灵敏度分析，便于对 那些敏感的条件采取更加谨慎的态度处理。(3)通过灵敏度分析还可以确定一些可控 条件的合理变动范围。因此，灵敏度分析几乎在所有的控制论与运筹学方法中以及在 对各种方案进行评价时都是很重要的，比如，在动力响应分析、模型修正、结构优化、 探伤识别、无损检测等领域都有重要的运用。灵敏度分析有很多种类[37]，如：形状灵 敏度、尺寸灵敏度、应力灵敏度、位移灵敏度、特征值和特征向量灵敏度、瞬态灵敏 度、频率灵敏度、屈曲载荷灵敏度、线性灵敏度和非线性灵敏度等等。由于灵敏度理 论的重要性，一直以来都是研究的热点。目前比较成熟的方法有：有限差分法[38-40]、 模态法[41]、Nelson类方法[42]、代数法[43-45]、迭代法[46-47]等。随着科学与工程技术的发 展和需要，灵敏度理论对生产和生活的作用将会越来越重要，灵敏度理论的研究也将随着深入。

参考文献：

[1]马天驰,安德煜,刘颂豪.光热探测——一种新的无损检测技术[J].激光与红外,1995(3)

[2]Li J S, Liu K, Zhang W J , et al. Carbon dioxide detection using NIR diode laser based wavelength modulation photo acoustic spectroscopy [J]. Optical Applicator. 2008,38(2):341-352.