浅谈“命题的否定”与“否命题”

[摘要]文章概述了“否命题”与“命题的否定”的区别和联系，并对一些常见命题否定的制作做了详细的介绍。

[关键词]命题的否定；否命题；命题制作

在《离散数学》的教学中发现有许多学生对命题的否定与否命题两个概念分不清楚，即使的有学生能够区分开来，却又很难正确地写出命题的否定，下面笔者就此问题加以诠释。

一、命题的“否命题”与“命题的否定” 是两个不同的概念

首先，它们研究的对象范围不相同，否命题仅针对假言命题（即若A则B）而言的，否命题是对一个假言命题的条件和结论都加以否定所得到的新命题（即若 则 ）。而对任意一个命题它的否定都是存在的．其次，从命题的真假来看，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者必有一真一假，而假言命题的否命题则不然，与原命题的真值可能相同也可能相反．

二、几类常见命题否定的制作

1．简单命题的否定简单命题是不能分解为更简单命题的命题。常见的有：

(1)形如“A是B”或“A不是B”的 命题。 这类命题的否定为：“A不是B”或“A是B”。例如命题“e是无理数。” 的否定为“e不是无理数。”

(2)全称命题和存在命题的否定

形如“所有A是B”的简单命题称全称命题。形如“存在某一个A是B” 的命题是存在命题，其否定分别是 “存在某个A不是B”与“所有的A都不是B”。如“所有矩形是平行四边形”的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”；命题“至少有一个质数不是奇数”的否定为“所有的质数都是奇数”；显然全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题。

2．复合命题的否定

由简单命题用逻辑联结词“非”、“且”、“或”、“若…则…”、“当且仅当”()联结而成的命题称为复合命题．复合命题的否定可用相应的命题定律来进行。

（1）命题 的否定

“ ”是对命题“P”的否定，命题“”与命题“P”的真假正好相反．故 “”的否定可用命题公式 来写出．例如命题“不是每个人都是大学生。”的否定是“并非不是每个人都是大学生。”即“每个人都是大学生。”

（2）联言命题的否定

用联结词“且（）”联结两个命题P、Q构成的复合命题“”称为联言命题．联言命题的否定可根据De Morgan定律“ ”来写出。例如命题“我们去看电影并且房间里有六张桌子。”的否定为“我们不去看电影或者房间里没有六张桌子。”

（3）选言命题的否定

用联结词“或（）”联结两个命题P、Q，构成的复合命题“”称为选言命题．与联言命题类似，选言命题的否定可根据De Morgan定律“ ”来写出。例如命题“张明是100米冠军或是200米冠军。”的否定是“张明不是100米冠军且不是200米冠军。”(须要说明的是由析取的定义知在命题中的“或”是指可兼或)

（4）假言命题的否定

用联结词“若…则…”联结两个命题P、Q，构成的复合命题“若P则Q ”称为P、Q的假言命题．由命题定律： ，可写出假言命题的否定．例如命题“如果爸爸去商店，就给小明买苹果。 ”的否定是“爸爸去商店且不给小明买苹果。 ”

（5）双条件命题的否定

用联结词“当且仅当”联结两个命题P、Q，构成的复合命题“ ”称为P、Q的双条件命题．双条件命题（ ）的否定可用命题定律： 或 来写出，显然只要否定“联项”即可．例如命题 “三角形中三条边相等是该三角形为正三角形的充分必要条件” 的否定为“三角形中三条边不相等是该三角形为正三角形的充分必要条件”。

一般地，依据上述几种基本形式命题否定的方法可以写出更复杂命题的否定式．

[参考文献]

[1]陈翼浦，赵曾．形式逻辑[M]．语文出版社．1996．

[2]张忠志．离散数学[M]．高等教育出版社，2000．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。