关于常微分方程教学内容的几点思考
【摘 要】文章阐述了高校本科基础课“常微分方程”教学内容选择上的一些思考，建议该课程在教学时，应与数学建模、数学史以及数学软件相结合，并且在内容的选择上要结合专业特色。
【关键词】常微分方程 数学建模 数学软件 教改
【中图分类号】O175【文献标识码】A【文章编号】1674-4810（2012）23-0025-02
目前有关非线性科学的研究方兴未艾，这极大地促进了力学、物理、生物、地学、机械工程、通讯工程、电力工程和航空航天技术的发展。为了培养这方面的人才，这对非线性科学起奠基性作用的“常微分方程”的教学提出了新的要求。而另一方面，“常微分方程”更是后续课程“泛函”“偏微”“微分几何”等的基础。如何做到二者兼顾，新知识、新方法怎样注入教学之中，如何用新的思路去改进教学方法，怎样才能把时代的新要求贯穿于教学始终，这成了现代“常微分方程”课程教学面临的新课题。由此，结合所在学校关于常微分方程的教学特点及自身经验，本文对“常微分方程”课程教学的内容选择上进行了一些思考。
一 结合数学建模
当前，大学生数学建模竞赛越来越普及，研究生数学建模竞赛也已开展，数学建模已成为高等院校提高素质教育及教学改革的重要手段。常微分方程模型是数学建模的重要方法之一。因此，这门课程的地位和作用将越来越重要。在教学中，通过大量、富有趣味性的实际例子突出数学的应用，让学生学会运用“常微分方程”建模并分析实际问题是我们的目标。因此，在教学过程中应有目的地将社会经济生活和现代科学技术的热点问题引进来，体现用常微分方程知识求解实际问题的全过程，即“实际问题—数学模型—模型解答—结果分析—模型改进—实际应用”。在教学过程中可采用以下几个典型的微分方程模型（如人口增长模型；传染病SIS模型；捕食-被捕食模型等）和现实热点问题（如碳定年法；核废料的处理问题等）。将常微分方程的理论、方法与解决实际问题有机地结合起来。其原则是既注重理论性强、方法多样及技巧性强等特点，又要体现利用常微分方程进行数学建模思想等特点，力争实现理论严密性、方法多样性和应用广泛性相结合。
二 结合历史背景
数学理论大都是从现实具体问题中抽象出来的。如果直接将抽象理论灌输给学生，容易使学生不知所云，很难激发学习热情，很难营造一个良好的教学氛围。本人在教学过程中，往往结合数学史，从而引出每个阶段的授课内容，即为什么研究这个问题，在这个过程中有什么有趣的故事可以介绍给同学，从而提高学生的学习兴趣。弄清楚每个理论的来龙去脉及发展的经历，对学生数学素养的提高及科学探索精神的培养都是非常有益的，如在“平面定性理论”的授课过程中可以结合数学史。1841年，刘维尔证明黎卡提方程不存在初等函数积分表示的解，而法国数学家们研究的三体问题就不能用已知函数解出，从而运动的稳定性问题就不可能通过考察解的性态而得到。因而要求数学家们开始从方程本身（不求解）直接讨论解的性质。庞加莱最终给出了从方程本身找出答案的诀窍。从1881年起，庞加莱独创出常微分方程的定性理论，创造了一套只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，并且在个别章节的讲解中还可以结合科研前沿，从而让学生对常微分方程的面貌有一个概略的印象。通过上述事例，就可以让学生感受科学研究的一般思维、过程及原理，这对于培养学生的数学逻辑能力很有帮助。
三 结合数学软件
目前已进入信息时代，计算机已普及应用。正是因为计算机技术的发展，才引发了混沌、孤立子及分形等新现象的发现，使用计算机数学软件可大大促进数学包括常微分方程的教学、学习和研究。我国的常微分教程多偏重理论，求解析解，而忽视定性分析、数值模拟等实际应用。事实上，多数微分方程是很难或不能得到其解析解的，而我们通过数学软件（Mathematica、Matlab和Maple），利用已有数据进行数值模拟，能很好地模拟模型的发展变化情况及长时间的动力行为，以便我们进行预测和评估。
四 结合专业特色
不难发现，学生在兴趣爱好、就业和考研意向等方面存在着不同的差异，表现在数学知识需求和接受能力等方面不尽一致。结合到笔者所在学院具有三个本科专业的特点，在授课内容上也是结合专业特色因材施教。例如，对数学与应用数学专业的学生在教学过程中应加大研究性教学的力度，在课堂教学中采取“启发式”和“讨论式”的教学方法，使学生掌握数学科学的基本理论与基本方法，注重学生逻辑思维能力、创新能力的培养。对信息与计算科学专业学生注重介绍问题的背景，影响问题的主要因素及根据这些主要因素做出简化假设，建立方程，并利用所得的数学结果解释问题的现象，培养的学生具有良好的数学基础，能熟练地使用计算机，初步具备在信息与计算科学领域的某个方向上从事科学研究，解决实际问题，设计开发有关软件的能力。对金融数学专业在教学过程中，可以多列举与金融相关的建模实例，从而使学生具有良好的数学素养，掌握金融数学的基本原理、方法熟练的计算机使用技能，能熟练运用数学知识和数据挖掘分析方法解决实际问题。
最后，在今后一段时期内，作者认为在常微分方程的教学改革中，应该把改革的重心放在课程内容选择上。因为对于不同专业的学生，他们的需求和需要掌握的知识体系是不一样的，因而从教学大纲、教学计划到最后的授课内容，都应该积极地进行教研，并及时与社会需求相结合，更准确地了解社会对于学生的需求状况及对学生知识掌握程度的需求。只有更充分的调研，才能让学生有更好的发展。教改之路漫长且艰辛，需吾辈加倍努力。
参考文献
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