站系统高度，整体把握函数单调性教学

下面是小编为大家整理的站系统高度，整体把握函数单调性教学,供大家参考。

　

　站在系统的高度，整体把握函数单调性教学 作

　者：

　黎栋材/龙正武/王尚志

　作者简介：

　黎栋材，首都师范大学数学科学学院（100048），北京师范大学附属实验中学（100032）；龙正武，人民教育出版社课程教材研究所（100081）；王尚志，首都师范大学数学科学学院（100048）.

　原发信息：

　《数学通报》(京)2015 年第 201512 期 第 7-11，15 页

　内容提 要：

　将函数单调性这一内容放在高中数学课程这一整体中考虑，站在系统的高度，分析函数单调性这一内容的地位与作用，进而进行教学分析，做出教学安排.

　关

　键

　词：

　系统性/整体把握/函数单调性

　期刊名称：

　《高中数学教与学》 复印期号：

　2016 年 04 期

　我国中学数学教育，一直注重结构体系的系统性、逻辑性和联系性[1].具体来说，就是“教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力”[2].但细化到具体的数学知识，到底怎样才能做到提高学生对数学整体的认识，一直都是值得探讨的问题.这与教师本身的数学知识素养、教师对有关

　教学内容教学规律的把握、教师习惯采用的教学策略，也与学生的知识水平、认知能力，甚至与有关内容高考的考查方式等都有关系.

　 例如，“函数的单调性”是一个经典的教学内容，但当前一线高中的教学中，下述现象还是屡见不鲜：

　 ①只教学生看图，理性上没有提高；

　 ②缺乏单调性概念的形成过程，教师总是“迫不及待”地想教给学生单调性的符号表示；

　 ③单调性教学中的图形语言、自然语言、符号语言之间的转换生硬、不自然；

　 ④说明单调性的例子太简单，不能调动学生的思维；

　 ⑤单调性的概念，除了在高一第一学期函数的课堂上外，其余时间都没出现过；

　 ⑥初次讲授函数的单调性时，讨论诸如 等难度较高的函数，讨论有关复合函数增减性的结论；

　 ⑦本质上与函数单调性相关联的内容中，没有单调性应用的影子；

　 ⑧导数定义与函数单调性定义没有关联；

　 ⑨用导数判断函数的单调性时，重程序轻分析.

　 上述现象的产生，都是因为没有将函数单调性这一内容放在高中数学课程这一整体中考虑导致的.

　那么，给定具体内容，为了做到站在系统的高度，整体把握教学，教师应该从哪些方面来加以考虑，以及具体应该怎样操作呢？下面本文以“函数的单调性”这一内容为例尝试做一粗浅的分析.

　 一、内容的地位与作用

　 首先，教师对所要讲授内容从学科上要有整体的把握，要清楚内容与前后知识的联系，了解知识的学科地位与作用.做到了这一点，就能确保教学时主线清晰.

　 1.内容的学科地位

　 自 1904 年克莱茵主张中学数学教学应以“函数概念”为中心以来[3]，函数一直是各国中学数学的核心内容.在大学数学课程中，函数更是主角，只是在不同的时期，对函数认识的定位不同、要求不同.

　 正如课标中指出的：“函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终.”函数描述变化规律时，主要体现之一就是函数的单调性，因此函数的单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本、最重要的性质.函数的单调性决定了函数图象的基本形状，反映出了变化的基本规律.清楚了一个函数的单调性，中学阶段函数的很多性质也就一目了然了，如函数的极值和最值（包括函数在某一给定区间上的值域）等.正因为如此，高中阶段在学习每一个具体的函数时，考查其单调性都是必不可少的内容.

　 2.课标要求

　课标在必修阶段和选修阶段都对函数的单调性提出了具体的要求.

　 首先在数学 1 函数概念部分，提出要“通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义”，然后在指数函数和对数函数的部分提出了要研究它们的单调性，接下来在数学 4 的三角函数部分，要求理解正弦函数、余弦函数的单调性，最后在选修 1-1 和选修 2-2 分别提出了要“利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间”.

　 不难看出，对于函数的单调性这一内容，课标给出的要求是递进的：从简单的函数归纳出单调性的定义，借助指数函数、对数函数、三角函数等进行巩固，最后达到用导数得出函数单调性、然后研究其性质的高度.

　 3.国外中学课程的要求

　 函数的单调性这一内容，在各国中学数学课程标准或教学大纲中都有所涉及.下面仅对法国数学教学大纲中的单调性内容做一个简单的介绍[4][5].

　 法国高中使用的是统一的数学教学大纲，高一学生共用一个大纲，高二开始文学和经济社会专业共用一个数学大纲（本文简称文科大纲），自然科学专业用一个大纲（本文简称理科大纲）.

　 法国高一年级大纲在函数内容中指出：“研究函数的量为增函数、减函数、区间上函数的最大值、最小值.”目标中指出：“用语言或数据给出变化趋势后，能比较区间上两个数的象，确定比给定的象大（或小）的所有象的原象.”注释中指出：“递增函数、递减函数的正式定义要逐渐给

　出.本学年末的时候要掌握.”在高一后续函数的推广中，主要研究了一次函数和二次函数，并要学生了解它们的变化趋势.

　 法国高中二年级理科和文科，内容都有三次多项式、导数，要求学习导数的符号和单调性的联系，函数的极值.目标是依据导数的符号判断简单函数的性质.理科大纲的注释中特别指出：“利用导数判断函数的单调性并不一定有效.”

　 法国高中三年级文科大纲，要求讨论指数函数、对数函数的增减性，导数与函数增减性、凸性、拐点（主要研究 的拐点）等关系.

　 法国高中三年级理科大纲，有递增数列、递减数列的内容，为数列极限做准备；也有指数函数、对数函数的增减性；还有函数的连续性与介值定理.而且，对于正的单调函数，要能确定积分的上界和下界.

　 不难看出，法国高中数学教学大纲中，对于函数的单调性要求比我们的要高，有关教学的要求也更具体更细致一些，但总的来说，遵循的还是一个递进的原则，只是时间跨度比我国课标规定的长.

　 4.内容的作用

　函数单调性间接的应用有：证明有关不等式，判断数列是递增数列还是递减数列，研究函数的零点信息等.

　 5.高考考查的要求

　 函数的单调性是高考每年必考的一个内容之一.教育部考试中心编制的考试大纲里对单调性的要求与课标基本一致，但各省市的高考说明对此进

　行了细化，例如北京市 2014 年的高考说明中，函数的单调性与最大（小）值的要求层次是 C（掌握：“对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题.”）[6].

　 二、函数单调性的教学分析

　 在整体掌握了内容的特点之后，接下来应该进行内容的教学分析，这可以从内容本身的教育特点、内容的教育价值、学生已有的基础等方面进行.

　 1.内容的教育特点

　 函数单调性的教育特点可以归结为以下几点.

　 （1）刻画变化的快慢可以从两个角度来认识

　 函数的单调性，从数的角度看，反映的是当自变量增加时，函数值是增加还是减少，即某个范围里函数值的变化；从形的角度看，就是研究函数图象走势的变化规律，即是上升还是下降.

　 （2）有“动静结合”的特点

　事实上，数学中利用类似的“任意”“恒成立”等来实现“动静结合”，是常见的一种方式.

　 可以研究函数单调性的导数定义也是如此：当自变量趋向于某一个特定的点是动态的，而函数在给定区间上的平均变化率或者说截线的斜率是静态的.

　 （3）图形语言、自然语言和符号语言之间的转化及其重要

　函数的单调性，最直观的也是最简单的方法当然是观察函数图象的上升或者下降的趋势直接得出，这也就是单调性的图象语言；将图象语言表示成自然语言，就是要判断函数自变量增大时，函数值到底是增大还是减少，这是求函数极值和最值的关键；而把自然语言用符号语言来表示，从而达到利用符号语言来判断函数的单调性的目的，是学习函数单调性的根本目的之一.

　 不难看出，上述函数单调性的从图形语言到自然语言最后到符号语言的过程，是一个难度逐渐加大的过程，也是单调性这个概念逐步深化的过程.因此，从教学的角度而言，从图形语言到自然语言和符号语言的过渡是教学中的重点和难点.这一过渡，一般来说可以用“图形反映出的这种变化趋势用语言或数学符号该怎么描述”来完成，但是这样的处理方式，容易让学生产生“多此一举”的想法——既然用图形可以判断，何必还要用语言或符号来表示呢？因此，这一过渡最好是采用能让学生意识到有必要这样做的方式来完成.

　另外，值得注意的是，在后续学了利用导数来研究函数的单调性之后，我们总是先用导数得出函数的单调区间，然后再将有关信息转化为函数的图象（或草图），最后得到函数的极值、最值等信息的.

　 （4）包含有全称量词的内容

　 首先应该注意到，函数单调性的定义并不唯一.

　但是在实际教学中，差分符号的出现虽然有助于学生想到做差法，但是这个符号的出现总显得有些突兀，学生理解起来也有一定困难，因此教师往往都是采用第一种定义来教学的.

　（5）复合函数单调性的判断

　 虽然课标对复合函数的要求并不高，但数学 4 中正弦型函数单调性的得出本质上还是要借助复合函数单调性的判别法则：如果 f（g（x））有意义，那么 f（x）与 g（x）同是增函数或同是减函数时，f（g（x））是增函数；f（x）与 g（x）一个是增函数另一个是减函数时，f（g（x））是减函数.

　2.学情分析

　 与函数单调性有关的学生情况大致有以下几点.

　 （1）初始函数单调性

　 学生在正式学习函数单调性的定义时，刚进入高中没有多久，虽然已经学习过集合这一章的内容，但是应该说还是没有完全适应高中数学的学习方法的.

　 学生在学习小学和初中数学时，习惯使用的是归纳法，有关等式的成立或函数的性质等都是从图形上观察和总结出来的.高中数学更讲究理性，有关结论往往需要严格的说理.因为现有的高中数学的集合一章不包含逻辑的知识，也没有诸如求证（A∩B）

　（A∪B）的题目出现（类似的知

　识也是归纳或总结出来的），因此学生在学完集合的内容时并不能体会到高中数学的学习特点.

　 从这一意义上来说，函数单调性的形式化表示是学生进入高中阶段以来所碰到的第一个理性化要求较强的内容，因此虽然学生可以利用前面已经学过的一次函数、二次函数、反比例函数等来理解函数单调性中的形式化，但是要完全理解其中的“任意”或者“恒成立”等，还是需要教师引导，以及时间和实践的.

　（2）以基本初等函数为载体感知函数单调性

　 按照课标的安排，在学习完函数的概念与性质之后，接下来学生要学习一些具体的基本初等函数，数学 1 中有指数函数、对数函数、幂函数，数学 4 中有三角函数，每一类函数都涉及单调性.

　 虽然高中阶段一开始就提出了函数单调性的严格定义，明确了证明一个函数是增函数或减函数的方法，但在后续学习指数函数、对数函数时，它们的单调性都还是依照初中数学的方法得出的——即是通过观察图象和归纳得出的.也就是说，相关内容的学习侧重的是单调性的图形语言和自然语言.之所以这样，当然是限于学生已有的知识范围，无法用单调性的形式化语言给出严格的证明.

　数学 4 中三角函数的单调性，也是通过观察图象得出的，学生此时对这一方法的掌握应该已经是得心应手了.但值得注意的是，这里的正弦型函

　数的单调性中，要用到复合函数单调性的判断方法——这对于学生来说是全新的.前面所说的两种处理复合函数单调性的办法，应该根据学生的基础进行选择.

　 另外，在这一阶段的学习中，判断自变量取值的相对大小时，用到了函数的单调性，是学生容易忽略的.在解有关指数不等式或对数不等式时，例如前述的已知 判断 x 与 y 的相对大小，其中用到了指数函数的单调性，但因为是逆向使用，严格的说理要用到反证法，因此这是教学过程中的一个难点.

　 （3）以导数为载体理性认识函数单调性

　 在选修阶段学习导数定义并利用导数判断函数单调性时，学生已经了解了多种具体函数的单调性，也应该已经熟悉了函数单调性的简单应用.

　 但是，先得出函数的增减区间，然后由此作出函数的草图，最后研究函数的性质（极值、最值、零点的个数等），这一函数单调性的综合性用法，学生此时是第一次接触到.

　 3.函数单调性的教育价值

　 由以上分析不难看出，函数单调性的学习，有利于学生熟悉高中数学的学习特点，培养他们的图形语言、自然语言、符号语言之间的相互转化能力，养成局部思维与整体思维相结合的习惯，发展抽象概括能力、归纳总结能力、恒等变形能力、分析能力等，最终提高他们的数学思维能力.

　 三、内容的实际教学安排

　在对内容有个整体的理解，并作了详细的教学分析之后，就可以根据教学规律、站在系统的角度统筹安排有关内容的教学了.具体到函数单调性的教学，一些关键点如下：

　 讲授函数单调性的定义时，教学重点要放在从单调性的图形语言过渡到自然语言，然后把自然语言翻译成符号语言，要注意借助学生已经学习过的一次函数、二次函数来理解函数单调性的定义，具体来说要让学生掌握用符号语言证明一次函数、二次函数和类似的简单函数的单调性，让学生知道利用单调性可以求出函数最大、最小值.将讲述函数单调性的定义时，可以采用类似人教 A 版教材中的玻意耳定律 （k 为正常数）等，让学生体会单调性在其他学科中的应用.

　数学 4 正弦函数、正切函数的单调性，通过单位圆或对应的图象得出.讲授复合函数单调性的判别方法（对数学基础还不是特别牢固的学生，应该用自然语言；而对基础比较好的学生，应该用符号语言证明，并配以自然语言理解），并由此得出正...