第九章风险理论
下面是小编为大家整理的第九章风险理论,供大家参考。
第九章
风险理论
风险理论是精算科学的主要组成部分之一，它是对保险公司的经营情况进行分析、管理和控制，从而为制定合理的保费及早期预则提供帮助。同时，从保险中发展起来的风险理论也同样适用于经济的其它领域，如：将保险公司作为一个投资者，其投资行为也可以用风险理论中的模型来描述。从 1693 年 Edmund Hally 编制出第一张完整的生命表，到 1738 年Daniel Bernoulli 提出期望效用理论， 到上个世纪初，Filip Lundberg 和 Harald Cramer 用随机模型来描述保险公司的业务情况，至今，风险理论经历了个体风险理论，聚合风险理论和现代风险理论等几个发展阶段，已成为概率论与数理统计在保险中的一门应用学科。
从概率论的角度来看，风险本身就是一个随机变量(一般是非负的)。
因此，风险模型就是一个关于损失或理赔 X 的随机模型。风险模型是保险产品，尤其是非寿险产品设计及保险经营的理论基础。保费的定价主要取决于风险 X 的概率结构，尤其是其数字特征。对保险机构而言，某种风险的随机损失(理赔)应是该种风险的所有保单的损失之和，记为 S, 即有：
S X 1
X 2
X n
n
X
, （9.0.1）
i1 其中 X i 是保单 i 的损失或理赔量， n 是保单总数或理赔次数。这里的理赔次数就是前面所说的索赔次数。弄清 S 的概率结构是很重要的。对 S
的概率结构的不同假设，便形成了各种 不同的风险模型。按是否考虑时间因素，而将风险模型区分为长期风险模型与短期风险模型； 按保单总数 n
是否随机，而将风险模型区分为聚合风险模型与个别风险模型；按保单总数 n 在所考虑的周期内是否一开始就已知且固定，而将风险模型区分为封闭风险模型和开放风险 模型。
本章介绍了几种主要的风险模型，包括短期个别风险模型，短期聚合风险模型和长期聚合风险模型，并介绍了一些风险理论的应用。
§ 9.1 短期个别风险模型
短期个别风险模型是最为简单的风险模型，它不考虑时间因素，保单总数 n 非随机。为讨论方便，本节假定 X
i 是相互独立的随机变量及模型(9.0.1)是封闭的。我们首先考虑 n=1 的情形，然后考虑 n>1
的情形，研究 S
的概率结构，并结合期望值保费定价原理，讲解其 在保险中的应用。
9.1.1 个别理赔随机变量模型 这是对应于 n=1 这一情形的短期个别风险模型，是最简单的风险模型。设X 是一个周期内的理赔随机变量，B 是这个周期内的理赔总额，I 是表示理赔事件是否发生的指示变量， 即 1 理赔事件发生 I 0 理赔事件未发生 则有
（9.1.1）
S X IB , （9.1.2）
这就是著名的个别理赔随机变量模型。这里, I 所服从的是一个二点分布: i
P{I 1} q ， P{I 0} 1 q ， q (0,1). （9.1.3）
由全期望与全方差公式， 全期望公式：
E{W } E{E{W | V }}
全方差公式：
Var{W } Var{E{W | V }} E{Var{W | V }} , 可以导出(9.1.2)所定义的X 的均值及方差公式如下: E{X} q (9.1.4)
Var{X} 2 q(1 q) 2 q (9.1.5)
其中 与 2 分别是B 关于I=1 的条件均值与条件方差, 即 E{B | I 1} ， 2
Var{B | I 1} (9.1.6）
模型(9.1.2)是一个较为一般的风险模型。该模型可应用于短期的人寿保险、健康保险、 汽车保险以及其它财产与责任保险等的产品设计。
例 例
9.1.1
考虑人寿保险产品，设在一年期人寿保险(1-year term life insurance)中，若被保人在保单签出的一年内死亡，则承保人将支付受益人一笔金额 b； 否则将不发生赔付。设每个被保人在一年内死亡的概率皆为q，即对每个被保人来说，承保人遭到索赔的概率为 q， 则每个被保人的实际索赔金额X 为 X = bI，其中 1 被保人死亡 I 0 被保人未死亡 且 P{I 1} q，P{I 0} 1 q 。于是，我们有
E{X } bE{I} bq ， Var{X } b 2 Var{I} b 2 q(1 q) .
例 例
9.1.2 考虑这样的人寿保单: 若被保人在一年内因意外事故死亡，则赔偿5 万元；而 因非意外事故死亡，则赔偿 2.5 万元。设该人群内因意外事故及非意外事故的死亡(概)率分别为 0.0005 及 0.002，即 P{I 1, B 5} 0.0005，P{I 1, B 2.5} 0.002 ,
其中
1 被保人死亡, I 0 被保人未死亡。
每个被保人的实际索赔金额为X=BI。试计算 E{X } 及 Var{X } 。
解 解
首先计算I 的边缘概率分布。由全概率公式，我们有 q P{I 1} P{I 1, B 5} P{I 1, B 2.5} 0.0005 0.002 0.0025 ，
P{I 0} 1 P{I 1} 0.9975 。
于是，可得B 关于 I=1 的条件概率分布
P{B 2.5 | I 1} P{I 1, B 2.5} 0.8 ， P{I 1} P{B 5 | I 1} 及其条件均值 与条件方差 2 ：
P{I 1, B 5} 0.2 ， P{I 1}
E{B | I 1} 2.5 0.8 5 0.2 3 ， 2 Var{B | I 1} (2.5 3) 2 0.8 (5 3) 2 0.2 1 。这样, 由公式(9.1.4)及(9.1.5)，可得 E{X} q 3 0.0025 0.0075(万元) ，
Var{X} 2 q(1 q) 2 q 0.0249(万元) 2 . 例 例
9.1.3 考虑这样一种汽车保险。假定免赔额为 250 元，最高索赔额为 2000 元。为简单起见,
暂且假定对某个特定的个人,
发生一次索赔的概率为 0.15，发生 2 次及 2 次以上的 概率为 0，即 P{I 0} 0.85，P{I 1} 0.15 。记 B 为一旦事故发生时对被保人的赔偿, 并假定: P{B 2000 | I 1} 0.1 ，在 0 B 2000 之间关于 I=1 的条件分布是连续的, 且条件概率密度 f B|I (b | 1) 与 1-b/2000 成正比。试计算每个被保人的实际索赔金额X = BI
的均值 E{X} 与方差 Var{X} 。
解 解
我们有q=0.15，B 关于I=1 的条件概率密度为 b
f B|I (b |1) 0.0009(1 )， 2000 0 , 0 b 2000， 其它。
由此可得条件均值 与条件方差 2 如下：
E{B | I 1} 2000 b 0.0009(1 0
b )db 2000 0.1 800 ， 2000 2
Var{B | I 1} 2000 (b 800) 2 0.0009(1
b )db (2000 800) 2 0.1. 0 360000 2000 这样, 由公式(9.1.4)及(9.1.5), 我们有 E{X} q 800 0.15 120(元) ，
Var{X} 2 q(1 q) 2 q 800 2 0.15 0.85 360000 0.15
13560（ 0 元 2 ）
从以上的例子可见，确定理赔额X 的概率结构的关键是确定B 的概率结构。在上面所讨论的例子中，B 是较为简单的。在某些场合，B
可能是复杂的。例如，考虑航空保险中一条航线在一个营运年度里机毁导致的人死亡人数S。我们可从一次航行中可能导致的死亡人数 X 这个随机变量开始，然后按一年的航行次数将这些随机变量相加，即得 S。对于单次航
S w
行，事件I=1 为航行中发生意外的事件，事故中死亡人数B 的模型为 B = LQ, 其中 L 是载客因子，即飞机失事时的机上人数，Q 是机上人员的死亡比例。死亡人数B 按这种方式建模的原因在于，有关L 与 Q 的各自的统计数据比总的有关B 的数据更为现成。这样，我们有 X=ILQ，尽管旅客在飞机失事中的死亡比例与飞机的载客比例也许有关，然后作为初步近似，可假定L 与 Q 独立。
9.1.2 理赔总额 S 的概率分布及其应用 在这个 n>1
的风险模型中，理赔总额 S
是许多被保人个体理赔额之和。前已假定这些 个体的理赔是相互独立的。独立随机变量和 S X
X
X
的概率分布的确定,
可以应 1 2 n 用以下二种方法:
卷积法
设 F 是 X i i 的分布函数（
i 1,2,, n ），
F
(k)
是 X
X
1 2 X k
的分布函
数, F S 是 S 的分布函数, 则有如下递推公式
F (1) F ， 1
F ( j)
F * F ( j1) ， ( j 2,3,, n), （9.1.7）
j
F F (n) ， S
其中F X
件下， * F 是分布F Y X 与F 的卷积运算, 它是 W = X + Y 的分布函数，在 X 和 Y 独立的条 Y
w F
(w y)f (y)dy , 连续分布, F (w) 0 X Y
（9.1.8）
W F (w y)P{Y y}, 离散分布. 0y
X
矩母函数法
设 M (t) 与 M (t) 分别为 S 与 X 的矩母函数, 即 M (t) E{e tS } 及 S i i
M i (t) E{e tX i } , 则有
M (t) n S i 1
M (t) （9.1.9）
i
若将 t 换为 t , 则 M S (t) 是 Laplace 变换, 由矩母函数的连续性及唯一性便可求得S 的概率分布。
P{X 3 x} 0.6 0.0 0.1 0.1 0.1 0.1 s
0
1
2
3
4
5
6
P{S s} F P{S s} S P{S s} F P{S s} S 1
例
9.1.4
随机变量 X
, X
与X 相互独立, 且具有如下表所示的概率分布 1 2 3
x
0
1
2
3
4
5
P{X 1
x} 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 P{X 2 x}
0.5
0.2
0.1
0.1
0.1
0.0
试用矩母函数导出 S X X X 的概率分布。
1 2 3
解
X
, X 与X 的矩母函数分别为 1 2 3
M (t) E{e tX } 0.4 0.3e t 0.2e 2t 0.1e 3t , 1
M (t) E{e tX 2 } 0.5 0.2e t
0.1e 2t
0.1e 3t
0.1e 4t , 2
M
(t) E{e tX 3 } 0.6 0.1e 2t
0.1e 3t
0.1e 4t
0.1e 5t , 3
于是由 X
, X
与X 的独立性, 得 S 的矩母函数 1 2 3
M (t) E{e tS } M (t)M (t)M (t) S 1 2 3 0.120 0.138e t 0.140e 2t 0.139e 3t 0.129e 4t 0.115e 5t 0.088e 6t
0.059e 7t 0.036e 8t 0.021e 9t 0.010e 10t 0.004e 11t 0.001e 12t
由此可得S 的概率分布：
0.120 0.138 0.140 0.139 0.129 0.115 0.088 0.120 0.258 0.398 0.537 0.666 0.781 0.869 s
7
8
9
10 11 12 0.059 0.036 0.021 0.010 0.004 0.001 0.928 0.964 0.985 0.995 0.999 1.000
当保单总数n 充分大时，我们并不需要计算S 的精确分布。此时，可应用中心极限定理对 S 进行正态逼近：
类别 k
索赔概率 q
索赔额 b
投保数 n
k k k j ,
S E{S} 具有渐近正态分布 N(0,1) (9.1.10)
此式可用来估计一些保险参数。这里, E{S} n
E{X
}，
Var{S} n
Var{X
} (9.1.11)
i i i1 i1 其中的 E{X i } 与 Var{X i } 可直接应用(9.1.4)及(9.1.5)式进行计算。为说明正态逼近(9.1.10)的保险应用，请看以下几个例子。
例 例
9.1.5 某保险公司发行一年期的保险金额分别为1 万元与 2 万元的二种人身意外伤害险，索赔概率 q k 及投保人 n k 如下表所示：
金额单位：万元
1
0.02 1
500 2
0.02 2
500 3
0.10 1
300 4
0.10 2
500 保险公司希望使从这 1800 名被保人收取的保费总额超过索赔金额的概率为95％(即只有 5% 的可能使得索赔金额超过所收取的保费总额)。设该公司按期望值原理进行保费定价,即保单 的保费 (X ) (1 )E{X } 试用正态逼近去估计安全附加系数 。
j j
解
计算 S X X X 的均值与方差 1 2 1800
E{S}
18 00E{X
}
4
j
n k b k q k
j1 k1 500 *1* 0.02 500 * 2 * 0.02 300 *1* 0.10 500 * 2 * 0.10 160 ,
Var{S } 18 00Var{ X
}
4
j n
b 2 q k k k (1 q ) k
由此得保费总额 j1 k1 500 *1 2 * 0.02 * 0.98 500 * 2 2 * 0.02 * 0.98 300 *1 2 * 0.10 * 0.90 500 * 2 2 * 0.10 * 0.90 256 , (S) (1 )E{S} 160(1 ). 依题意, 我们有 P{S (1 )E{S}} 0.95 ，于是
P{ S E{S} Var{S} E{S} Var{S} } P{ S E{S} Var{S} 10} 0.95 ,
由(9.1.10), 利用标准正态分布的 95%分位数可得 10 =1.645, 故 =0.1645. 例 例
9.1.6 某保险公司经营汽车保险业务, 所签发的保单由二种险别组成,
其中每类险别的索赔额 B k (k 1,2) 均服从截尾指数分布, 其分布函数分别为 Var{S}
1 0
0
F(x) 0 ,
e k x , 若x 0 , 若0 x L k , 1 , 若x L k
这说明索赔额 B k 的分布是混合型分布，在 0
x
L k
时，概率密度为 f
(x)
k e k x ,
而在点 L k
上的集中概率为 P(B k
L k )
e k L k
。
设每种类别的投保数 n ， 索赔概率 q 及 B
的分布参数 ， L 如下表所示: k k k k k
投保数 n k
索赔概率 q k
L k 金额单位：万元
B k 的分布参数 类别 k
k L k
1
500 0.10 1 2.5 2
2000 0.05 2 5.0
假定该公司按期望值原理进行保费定价, 即保单 j 的保费 (X j ) (1 )E{X j } , 希望收取的保费总额等于索赔总额分布的 95%分位数。试应用正态逼近去估计安全附加系数 。
解 计算 B k 关于 I k 1 的条件期望 k 与条件方差 k 2
k E{B k | I k 1} L k x k e k x dx L k e k Lk 1 (1 e k L k ) , k
k 2 Var{B k | I k 1} E{B k 2 | I k 1} k 2
L k x 2 k
e k x dx L k
2 e k L k 1 k 2
(1 e k L k ) 2
1 k 2
(1 2 k
L k e k L k e 2 k L k ) ,
据此, 由(9.1.4)和(9.1.5), 并代入表中的数据, 可计算这 n n 1 n 2
2500 份保单索赔额之和， S X 1 X 2 X 2500 的均值 E{S} 与方差 Var{S} 如下:
n 2 E{S} E{X j } n k k q k 95.89 , j1 k 1 Var{S} n 2 Var{X } n ( 2 q (1 q ) 2 q ) 115.78 , j k
k k k k k j1 k 1
5 n 5
这样, 由
0.95 P{S (1 )E{S}} P{ S E{S} E{S} }
Var {S} Var {S}
及(9.1.10), 利用标准正态分布的 95%分位数可得
因此, 解出 E{S} 1.645
即有 0.1846. 1.645 E{S} 1.645
95.89 0.1846 ，
例 例
9.1.7 某保险公司开办 5 种人寿险, 每种险别(一旦被保人死亡)的赔偿额 b k 及投保人数 n k 如下表所示：
类别 k
索赔额（万元）
b k
投保人数 n k
1
1
8000 2
2
3500 3
3
2500 4
5
1500 5
10 500 设死亡是相互独立的, 其概率皆为 0.02. 保险公司为安全起见, 对每位被保人...