为教材做“注记”

下面是小编为大家整理的为教材做“注记”,供大家参考。

　

　为教材做“注记” ————以“点到直线的距离”为例 作

　者：

　龚辉斌

　作者简介：

　龚辉斌，浙江省义乌市第二中学.

　原发信息：

　《中学数学：高中版》(武汉)2017 年第 20174 期 第 15-17页

　内容提要：

　一线教师对教材内容进行自主的分析、加工和补充，并将其标注在教材上，以待有机整合在后续的备课活动中.这种行为称为“为教材做‘注记’”.研究者以“点到直线的距离”内容为例，具体阐述为教材做“注记”的基本视角及其相应的教学意义.

　关

　键

　词：

　教材/注记/点到直线的距离

　期刊名称：

　《高中数学教与学》 复印期号：

　2017 年 07 期

　数学教材凝结着教材编写专家的心血和智慧，受到教师们的普遍尊重，以教材为本是数学教学的基本遵循.然而，由于形式化表达的特点，数学中的一些深层次东西并不容易在教材中自然地表现出来.限于篇幅，一些重要的数学思想和方法也未能获得充分的显现.因此，立足教材理解，围绕数学教育目标，一线教师对教材内容进行自主的分析、加工和补充具有现

　实意义.有经验的数学教师习惯于把这些分析、加工和补充标注在教材的页眉或页脚位置（或其他空白处），以待有机整合在后续的备课活动中.我们不妨把教师的这种个性化活动称为“为教材做‘注记’”.为教材做“注记”有哪些基本的视角？各自有着怎样的教学意义？本文以高中数学课程标准实验教科书的一段内容为例，谈谈笔者的实践和思考，抛砖引玉，与同行交流.

　 教材指出，上述方法虽然思路十分自然，但具体运算较繁，因而采用下面的方法（下文简称“教材做法”）：

　 由三角形面积公式，得 到直线 l 的距离

　可以验证，当 A=0，或 B=0 时，上述公式也成立.

　 对于上述教材内容，笔者给出了 3 点“注记”.

　 注记 1：大致遵循“教材思路”，但不求垂足 Q 点的坐标，也能求出.

　把（4）式代入（3）式，得 .

　 注记 2：“教材做法”的核心是构造一个位置特殊的直角三角形，其数学考虑包括：

　 第一步，联想.从目标“点到直线的距离”出发，联想到“三角形边上的高”，进一步联想到“三角形的面积”.

　 第二步，设想.设想构造一个以 为顶点的三角形， 所对的边在直线 l 上，设这条边为 SR（如图 3）.

　 第三步，表示. 到直线 l 的距离 d= 中 SR 边上的高 .

　 数学教材是一幅未竟的“画”，一段待续的“情”.事实上，把数学的学术形态转化为教育形态不是一件简单的事，需要教材编者和一线教师的配合与协作.体现教材实践者对于教材的能动性，使教材发挥最大的教学效益，是教师为教材做“注记”的出发点，必为教材编者所乐见.上文案例提供了为教材做“注记”的 3 个基本视角.

　 视角 1，调整想法.这里的“想法”，指的是教材中处理具体数学问题的思路或意见.向教材学习是教师应有的态度，但教材不是“圣经”.借助于研究性阅读，教师会发现教材的一些想法其实有着调整的空间.对此，汲

　取其合理成分，教师以“注记”的形式写下调整的结果，不仅丰富了课堂教学资源，同时孕育了新的教学价值.

　 点 P 到直线 l 的距离，本质上是“点与点之间的距离”，即点 P 与直线 l 上的一个特殊点之间的距离.分析这个特殊点（垂足 Q）的几何性质（在直线 l 上，与点 P 的连线垂直于直线 l），然后转化为代数关系（坐标满足直线 l 的方程，与点 P 的连线的斜率等于直线 l 的斜率的负倒数），体现了“聚焦核心对象→分析几何性质→进行形数转化”这一解析几何的基本思想和研究套路，教学意义不言而喻.从问题目标出发，通过“设而不求”、“整体代入”等数学技能的运用，注记 1 有效调整了教材想法（实际上改进了教材思路）.将之运用于课堂教学，等于给予学生一次践行解析几何思想、提高分析问题能力、发展重要数学技能的良机.

　 注记 1 可以避免教学“入宝山而空返”的尴尬，同时有利于培养学生的理性精神.在学生的心目中，数学教材是“高大上”的学习材料，因而课堂上教师抛出问题“不求垂足 Q 点的坐标也能求出 吗？”时，学生的内心会充满疑惑.以注记 1 指导学生的尝试，让他们亲历峰回路转的时刻，看战术的改变如何使教材思路焕发了新的生机.学生将感受到：独立自主的思考和积极的行动尝试，是多么的可贵！从而增强学生自我发展的信心.

　 视角 2，诠释做法.教材展现给人的是逻辑严密的问题解决流程，背后的思维活动往往被“雪藏”了.“注记”的一个重要方面是化“隐”为“显”，从帮助学生理解数学思维的角度重拾生动活泼的思考过程.

　构造法是数学的重要方法，但在中学数学教材中并不多见，学生感觉其“妙”易，理解其“意”难.事实上，一个代数式或空间图形的构造，往往不是随性而起、一拍脑袋而成的，而是一连串数学考虑的结果.“教材做法”构造了一个三角形，背后的思维活动是“联想”和“特殊化”.即由“点到直线的距离”联想到“三角形边上的高”；围绕“如何求出三角形的高”，采取了两次特殊化行动.具体地说，点到直线的距离 两条直角边分别垂直于 x 轴和 y 轴的直角三角形斜边上的高.联想是数学创造的源泉，特殊化则反映了数学科学的特点，即“追求简单（包括简单的过程和简单的结果）”.注记 2 诠释了图 2 的来龙去脉，可以使学生真切体会联想和特殊化在数学构造中的意义和作用，“构造”这一抽象的数学思想由此变得生动起来.

　 视角 3，补遗方法.数学思想是一种策略性知识，是数学的精髓.策略性知识的学习，学习者的亲身实践和具体方法的支撑不可或缺.因此，对于教材反映的重要数学思想，教师有必要趁热打铁，给予学生强化体验的机会.一条自然、经济的途径是引导学生从教材做法反映的数学思想出发，尝试重新解决教材提出的问题，让学生借助改进或创新的数学方法来推进自己对数学思想的理解.教师以“注记”的形式写下有关数学方法的补遗，正是为了有效地指导学生的这种实践活动.

　 注记 2 可以使学生感受“联想”和“特殊化”在数学构造中的作用，可它毕竟属于接受性学习.引导学生展开新的联想，鼓励学生尝试新的特殊化，可以促成学生运用联想思维和特殊化方法进行数学构造的直接经验.注

　记 3 为学生的这一活动提供了强力支持，避免数学思想（构造思想）教学浅尝辄止的现象.

　 总的来说，抓住数学知识发生发展的契机，聚焦数学思想的阐释和应用、数学方法的改进和创新，3 个视角开启了深化教材理解、发展教材资源的窗口.当然，从数学内容和教材编写的实际出发，上述视角应有所侧重，并采取一定的审慎态度.如，教材想法确有调整的必要吗？如何使教材做法的诠释更到位？补遗的数学方法符合学生的知识经验和认知水平，并能促进学生的思维发展吗？在笔者看来，同一备课组老师经常就“注记”的具体内容展开讨论，是保证“注记”准确、深刻、全面的必要举措.