注重思维发展，突出问题本质（范文推荐）
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注重思维发展，突出问题本质 ————“函数的奇偶性”的教学设计 作
者：
徐建东
作者简介：
徐建东，江苏省苏州市吴江盛泽中学.
原发信息：
《中学数学教学参考》(西安)2021 年第 20213 上期 第 27-29 页
内容提要：
现象教学主张“回到问题本身”，注重使学生获取知识的同时也学会获取知识的方法.文章以“函数的奇偶性”的教学为例，探究在常规课堂教学中贯彻现象教学理念的策略.
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键
词：
现象教学/概念教学/函数奇偶性
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2021 年 06 期
现象教学又叫跨学科综合教学，主张“回到问题本身”，注重知识的自然生成，让学生在获取知识的同时也学会获取知识的方法，这有利于培养学生发现与提出问题、分析与解决问题的能力.
下面是吴江盛泽中学孙四周老师实施现象教学的一节汇报课，笔者在此做简要介绍和评析.
一、教材分析
孙老师所用教材为苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学 1》（必修），授课内容为第 2 章“函数概念与基本初等函数Ⅰ”第 2.2.2 节“函数的奇偶性”.
基本初等函数的基本性质有单调性、奇偶性（对称性）、周期性等，函数的奇偶性直观地反映了函数图象的对称性，是继函数的单调性后学生学习的第二个函数的基本性质.一方面，它延续了函数单调性的研究方法，即观察函数图象，感知函数的性质（图象语言），能用自然语言描述函数的性质（文字语言），最后能上升到用数量关系刻画函数的性质（符号语言）；另一方面，它为后面研究函数的周期性打下了基础.
从“形”的视角，函数的奇偶性揭示了函数的整体图象与函数在第一象限的局部图象的可能的联系；从“数”的视角，函数的奇偶性刻画了函数自变量与函数值之间存在的一种特殊的数量关系.利用数形结合的思想方法来研究函数问题也给学生展示了一个全新的思考视角.
基于以上分析，本节课的教学重点是让学生经历用数量关系来刻画函数的奇偶性的过程.
二、学情分析
学生在初中阶段已经学习了轴对称图形、中心对称图形以及它们的性质，对图形的对称有了一定的了解；学生通过函数单调性的学习，经历了用符号语言对自然语言精确刻画的过程，了解了一个形式化的模式.函数奇偶性的学习需要把图象的这种对称性质用代数的符号语言进行理解、描
述，而且用其来分析解决问题.用准确的符号语言刻画数与形的联系是学生学习的难点.
基于以上分析，本课的教学难点如下：（1）如何引导学生发现图象的对称实质上是点的对称；（2）如何由用对称点坐标的关系过渡到用数量关系来刻画函数的奇偶性.
三、教学目标
（1）通过实例，建立奇偶性概念的背景.通过观察函数 的图象，使学生体会此类函数的整体图象与它在第一象限的局部图象的可能的联系；
（2）在对函数 图象的分析过程中抽象概括出偶函数的概念；
（3）类比偶函数概念的建构过程，由学生自主建构奇函数的概念；
（4）了解函数奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性；
（5）运用研究函数性质的一般方法，经历观察、比较、分析、类比、抽象，从特殊到一般、具体到抽象的研究过程.体验数形结合的思想方法.
四、教学过程
学生活动 1：请同学们用手指比划下列函数的图象：
（依次播放 PPT：学生同步活动，图象投影略微延迟）
学生活动 2：这 6 个图象，如果让你把它们分成两类，你会怎么分？
学生分别作答：按单调性来划分，则分为增函数和减函数；
按是否具有单调性来划分，则分为单调函数和不单调函数；
按是否连续来划分，则分为连续的函数和断开的函数；
按对称性来划分，则分为关于 y 轴对称和关于原点对称；
学生根据所学知识对上述 6 个函数图象进行分类，此处是考验学生数学直觉的关键点.
通过学生充分的活动，师生达成共识，上述 6 个函数图象可以按对称性来划分：轴对称和中心对称.
学生活动 3：（播放 PPT）依次播放如图 1 所示的光明女神蝶、图 2所示的勾股树，等等.
追问 1：一般地，我们是如何判断一个图形是轴对称图形的？
学生回答：看出来的.
教师：怎么看？
学生讨论后作答：图象的左右两侧进行比对，凭数学直觉来进行直观的判断.虽然是看出来的，但其实学生心中仍认为是将图形进行左右“折叠”，只不过这仅是一种构思.有学生回答“折叠”，是将脑海中的构思付之行动，是用实际操作来进行验证，这就回归到轴对称的定义了.
追问 2：对于函数 的对称性，你用到折叠了吗？
设计意图：通过学生熟悉的二次函数图象的对称性的验证，“逼迫”学生寻找论证其关于 y 轴对称的依据.让学生感悟到几何的直观性须通过代数方法加以严格检验.
可能有学生会挑选几个特殊的点进行验证，教师不要急于给出对错的评判，可以放手让学生进行自我评价或者学生之间进行互评，这样可以让学生认识到问题的根源，认识到问题的本质，进而加深对问题本质的理解和掌握.
学生活动 4：探究函数 图象的对称性.
学生猜想其图象是关于 y 轴对称的，并通过列表法进行证明.
追问 3：能不能由这几个点的对称，推断出整个图象的对称性？
大多数学生认为：必须考察图象上所有的点.
那么，怎么考察“所有的点”呢？这是无穷多个点，逐对验证肯定不行，应找到一个合适的方法.
学生小组合作探讨，最后发现只要证明 f（-x）=f（x），对任意实数x 都成立.
师生得到偶函数的定义：一般地，设函数 y=f（x）的定义域为 A，如果对于任意的 x∈A，都有 f（-x）=f（x），那么称函数 y=f（x）是偶函数.
追问 4：由此，我们是不是可以严格证明函数 的图象关于 y 轴对称？
（学生活动后，教师投影证明过程）
追问 5：再看 是偶函数吗？请证明.
追问 6：图 3 是一个分段函数，其表达式是 请问这个函数图象关于 y 轴对称吗？
设计意图：理解一个概念必须既能识别正例又能识别反例，教学时先教正例后教反例，反例的证明用特殊值法.
追问 7：你能不能举出几个偶函数的例子？
追问 8：如果给定函数 ，它是偶函数吗？请证明.
师生共同回顾最初给出的 6 个函数图象.关于 y 轴对称的那一类，我们称之为偶函数，目前已经研究清楚了.而关于原点对称的那一类，是中心对称类型的，我们称之为奇函数.
师生共同得出奇函数的定义：一般地，设函数 y=f（x）的定义域为A，如果对于任意的 x∈A，都有 f（-x）=-f（x），那么称函数 y=f（x）是奇函数.
例 1 函数 的图象是否存在某种对称性？（答案：关于原点对称）
例 2 判断函数的奇偶性：
（答案：（1）偶函数；（2）非奇非偶函数）
设计意图：例 2（2）用于强调定义域的对称性，从数和形两个方面让学生体会.从“数”的角度看，f（-1）=1，f（（1）无意义，即不能说f（-1）=f（1），也不能说 f（-1）=-f（1）；从“形”的角度看，点（-1，1）在函数图象上，而（1，1），（1，-1）都不在函数图象上.
师生总结：利用定义判断函数奇偶性的步骤：
（1）确定函数的定义域，判断其是否关于原点对称.（两种可能）
（2）确定 f（-x）与 f（x）的关系.（四种可能）
（3）作出相应的结论.（四种可能）
练习 1：若 是一个偶函数，你能得到什么结论？
（答案：因为该函数是偶函数，所以 a-1=-2a，则 .又由 f（-x）=f（x）得 bx=0 恒成立，从而知 b=0，c 可以为任意实数.）
五、教学评析
这是一节在常规课堂实施的现象教学，开始的函数图象、后面的函数（解析式）都是“数学现象”.本节课，探究函数 （该函数图象较难作出）的图象的对称性，能“逼迫”学生回到问题本身，对现象进行数学化.学生对现象进行了观察与分析、理解与表达，这就是对概念的再创造，形成了认知，更锻炼了探究的能力.这节课的教学自始至终都没离开研究的对象（“函数图象的对称性”这一现象），最后也呈现了对研究对象的认识.
现象教学的实践仍处于探索阶段，需要大量的“思考”“行动”，本文权作抛砖引玉.
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