高中对数和指数系统分析及教学启示
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高中对数和指数系统的分析及教学启示 作
者：
申朝辉/刘咏梅
作者简介：
申朝辉（1990-），男，江西师范大学教育学院硕士研究生，主要从事中学数学教育及数学文化研究；刘咏梅，江西师范大学教育学院.
原发信息：
《中国数学教育：高中版》(沈阳)2017 年第 20175 期 第19-22，26 页
内容提要：
对数和指数是高中数学中出现的一对相辅相成的概念，可以相互表示，并构成数学的子系统，具有整体性、结构性和功能性等特点.教学中依赖对数和指数的相互联系和转化，能够更好地认识指数与对数的本质属性和结构特点，在对数和指数的教学中应该关注整体性对学生理解数学的重要意义，关注从运算到数列再到函数的各个重要环节中类比思想的运用.
关
键
词：
对数与指数/辩证关系/数学教学
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2017 年 08 期
辩证唯物主义认为，自然界的物质普遍以系统的方式存在着，系统具有整体性、结构性和功能性.数学也是以系统方式存在的，数学内部各个对象之间彼此联系，在一定的条件下相互转化，形成严密的系统结构.对数与指数构成数学内部的子系统，具有整体性、结构性和功能性等特征.揭示两
者之间的内在联系，不仅是理解其本质特点的重要途径，也是感悟数学系统中对立与统一关系的重要途径，有利于发挥系统在问题解决中的整体作用.
一、对数与指数关系分析
数学是模式的建构与研究.对数与指数是两种重要的模式，在建构和研究中具有内在结构的对应性.
1.揭示对数与指数系统的整体性是认识其本质的基础
系统的整体性是指系统的各个要素按照一定的方式构成有机整体.对数与指数从概念到运算再到相应的函数的性质都具有对偶性.对数产生于几何模型，但是只有建立了与指数的联系，才能被人们更好的认识.
（1）对数的几何模型.
对数作为一种计算方法，其特点在于通过对数将乘法和除法运算转化为加法和减法运算.这种想法起源于人们所熟知的 2cosAcosB=cos（A+B）+cos（A-B）等公式.在纳皮尔时代，指数的概念还没有形成，纳皮尔以几何术语对对数进行了阐述.
如图 1，考虑线段 AB 和无穷射线 DE，令点 C 和点 F 同时分别从点 A和点 D 出发，沿着这两条线以同样的初始速度开始移动，假定点 C 的速度与线段 CB 成正比（比例常数是 1），而点 F 以匀速移动，纳皮尔定义DF 为 CB 的对数.
（2）对数与指数关系的明确.
对数发明之初，人们对其与指数关系的认识比较模糊.在 18 世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并使用指数来定义对数，同时指出，对数源于指数.至此，指数与对数的联系第一次明确地呈现在世人面前.
2.对数与指数系统的结构性
系统的结构性指系统诸要素之间相互关系的综合，表现为系统内部的组织形式、联系方式或秩序.数学是具有严密性的知识体系，而严密性的基本表现是数学知识之间的内在联系，指数与对数依赖相互关系具有整体的结构性特点.
运算是数学研究的基础，数的运算是推动数学发展的重要动力，加法与乘法运算是最基本的运算，连续加同一个数与连续乘同一个数之间的内在联系是指数与对数系统结构特点的重要基础，也是两类基本数列（等差数列与等比数列）以及两类重要函数（指数函数与对数函数）的重要基础.
（1）对数与指数系统运算的联系.
依据这种变化中的不变的组织形式，可以使我们借助指数（或对数）的性质，建构对数（或指数）的性质.
（2）等差数列与等比数列之间的关系.
由于等差数列和等比数列是由数的连加和连乘所形成，因而两类数列之间的关系借助对数会体现得更为明显.例如，等比数列的各项取对数后成
等差数列，等比中项取对数后成为对应数列的等差中项.通项公式之间和前n 项和之间也具有类似的关系.又如， ，两边取对数 ，与等差数列通项公式具有相同的形式.
（3）指数函数与对数函数的关系.
交换对应的数对前后位置，可以得到以下对应数对：
3.对数与指数系统的功能性分析
系统的功能性是指系统与环境相互作用中所呈现的能力，是系统内部能力的外部表现.指数与对数系统借助相互联系和转化，在数学问题解决中发挥着重要的作用.
（1）对数与指数是重要的符号和桥梁.
任何一门学科走向科学的过程都是形式化、符号化、建立数学模型和实验模型的过程，对数符号与指数符号是数学语言的组成部分，当数学发展遇到新的问题，不能用已有的概念思想和符号表示时，就会催生出新的概念与符号.对数和指数都是重要的表示数的形式，借助这一形式的表示，可以探索和发现规律，从而解决问题.
对数的方式在分形几何研究中通常用来表述分数维.一些数学上的重要关系的描述也采用了对数或幂的形式.
（2）对数函数与指数函数是重要的模型.
借助对数函数或指数函数进行分析和研究，对认识问题和解决问题具有重要的意义.
案例 2：素数的研究.
素数的研究是初等数论的重要内容，用π（x）表示不超过 x 的素数的个数，可以发现，随着 x 的增加，素数的个数也在不断增加，却难以发现其中的规律.但借助对数进行观察，可以发现 是π（x）的渐进式，于是提出素数定理的猜想：
，并由法国数学家阿达马和泊松给予了证明.
案例 3：里氏震级 M 的计算公式为 ，其中 A 是测震仪记录的曲线最大振幅， 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为________级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的________倍.
分析：M=lg1000-lg0.001=3-（-3）=6；
（3）对数与指数的转换是问题清晰的重要途径.
伟大的思想必定是简化的思想，其创造者必定总是给自己也给别人澄清最复杂的公式和概念体系的人.辩证唯物主义认为，世界是矛盾的，矛盾的双方是对立统一的，在一定条件下可以相互转化.利用对数与指数的转化，可以达到清晰或简化问题并获得解决的目的.
二、教学思考
对对数与指数的认识和理解依赖两者之间的不可分割的联系.教学应充分挖掘对数与指数的对立统一关系，借助相互联系进行理解和认识，关注对数与指数发展中的重要环节的教学.
1.注重知识的起源及发展，体现整体性
《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出，要注重学生探索新知识的经历和获得新知识的体验.高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念逐步形成过程，体会其中的思想方法.系统的整体性是系统的本质属性，数学学习是不断解决问题、不断创新的过程，对任何一个重要概念的掌握都需要经历一些关键的阶段.立足整体性的教学是既关注系统各个部分的功能，又关注系统本身的整体功能.
（1）对指数的全面认识要依赖对数.
指数概念的学习起点在初中，先认识正整数幂是同一个数连续相乘，将负整数幂定义为 ，又将有理数幂定义为 （这里的表达式要有意义）.
从指数的发展过程中可以看出，对于无理指数的情况一直难以定义，直到建立对数与指数的联系，才能较好地理解无理数指数的数的意义.
（2）对对数的全面认识要依赖指数.
对于一段历史，不仅要研究其演变过程，还要从认识问题的思想方法方面对其进行审视与提炼.教学的关键是使学生充分认识对数对指数的依赖，体验依据指数创造对数概念的过程，体验概念的生命存在.
不了解知识的发展过程和价值的教学难以达到深化对知识的理解的目的，更难以达到通过理解知识进而理解数学的目的.要理解对数指数相互联系的整体性，认识其发展历史是必要的.教学中，教师可以通过介绍对数的发展历程，引导学生理解对数与指数关系的重要价值.对数的思想渊源可以追溯到古希腊时代，当时的大哲学家阿基米德，曾经发现如表 1 所示的有趣的对应（其中 r=10）.
1544 年，德国数学家斯蒂弗尔在他的著作《综合算术》中，提出几何级数其对应的指数构成的算术级数之间的对应关系及运算性质，以及发现以上几何级数的乘除运算对应于算术级数的加减运算.
随着贸易、航海以及天文学等对数值更加精确的需求的影响，对计算技术的改进提出了更高的要求，纳皮尔经过 20 多年的时间来简化运算，
终于在 1614 年，他在《奇妙的对数定理说明书》中，阐述了他的对数思想.其后，在发展使用过程中，对数经过改进，尤其是在 1728 年，瑞士数学家欧拉理顺了对数与指数的关系，指出了对数源于指数之后，对数才被世人广泛地接受.
2.注重类比教学，体现结构性
对数和指数的概念认识、运算认识和函数认识等环节相互联系、层层递进，人们对指数与对数的认识过程也是不断揭示其内在多样性联系的过程.教学中，在各个环节都可以借助类比及其他数学思维将对数和指数作为整体来研究.
（1）指数与对数概念的类比.
数学概念既是数学思维的基础，又是数学家思维的高度结晶.建立概念之间的联系，形成概念体系是建构清晰的认知结构的重要途径.知识的理解需要核心概念的框架，对数是借助于指数来定义的.因此，对数概念的教学必须借助指数才能让学生以最简单的方式来理解.
运算是指数和对数概念形成的基础，同底指数幂相乘，指数相加底数不变，这是乘法与加法之间的内在联系，也是指数与对数概念建立的桥梁.
（2）指数与对数运算的类比.
上述内容说明学生的认识需要随着学习不断地深化，其对对数的认识和理解也在不断完善.教学中，教师可引导其发现每一个对数（指数）运算法则，都可以通过类比获得法则的另一种表现形式，即指数（对数）的运算法则，形式的变化也是解决问题的重要途径.
案例 6：设 a＞1，若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x∈[a，2a]，都有 y∈[a， ]满足 ，求 a 的取值的集合.
分析：此题解法比较多，但将对数式转化为指数式，揭示变量之间的关系 ，可以使问题较简洁地获得解决.
（3）指数与对数性质的类比.
指数函数与对数函数是一个问题的两个方面，也都是重要的初等函数.在教学中，通过类比使学生从整体上理解函数的相关性质，如同增同减函数，同凹同凸的性质特点，可以快速解决一些问题.
3.引导问题解决，感悟数学的辩证关系
由于指数与对数的转化在数学问题解决中具有的重要性，教学中不仅可以引导学生体会实际计算的需要和数学发展的内在统一性，而且可以引导学生感受数学问题解决的过程，体验辩证理解数学对问题解决的价值.
（1）问题解决中的转译.
数学问题解决过程中的有效转化，不仅是问题解决的途径，也是学生智慧的表现，提供多种途径之间的联系是形成转化的前提.迈耶给出了数学问题解决的四个成分：问题转译—问题整合—解题方案的计划及监控—解题方案的执行.问题转译状况体现了对问题的把握状况，也体现了解题者在问题解决过程中对问题的理解状况.转译的状况直接决定了解题方案的设计和执行.教师在教学中应体现对数与指数的相互转化，帮助学生理解与转化解决问题的意义和价值.
（2）感受数学表现的多样性与内在的统一性.
教学中应引导学生由知识之间建立的联系迁移到形成进一步的观念，形成对数学本身的认识和理解.例如，在教学等比数列和等差数列时，引导学生体会等比数列的各项具有幂的特点，各项的对数构成的新数列为等差数列，公差也是公比的对数.
总之，对数与指数是数学中对立与统一的典型代表，教学中要通过各种途径揭示其内在联系，这样不仅有利于学生理解数学、提升能力，而且也是完善其数学观，使其形成辩证唯物主义世界观的重要途径.